?

Negatieve getallen

Dit is het negende in een serie verhalen over de Weerenschool en Freinet. Het overzicht staat in De Weerenschool en Freinet I.

Twee leerlingen rommelen met (bestuderen) een zakrekenmachientje. In 1980 waren dat nog tamelijk bijzondere dingetjes.

Tijdens het programmadeeltje ‘rekenontdekkingen’ laten ze zien waar ze mee bezig zijn geweest. Gewoon rekenen (optellen, vermenigvuldigen, delen en aftrekken) is niet zo spannend. Wel lekker makkelijk, snel en foutloos. Sommige dingen zijn grappig of beter gezegd: onbegrijpelijk.
Soms komt er een streepje voor het resultaat te staan. Simpel voorbeeld: 54321 min 66666 geeft -12345.
“Is het dan fout?”
“De cijfers van het antwoord staan precies andersom dan de cijfers in het getal waarmee je begon.”
“Ik snap het niet.”
“Kan je het een keer doen met gewone getallen. Met kleine getallen. Dan kun je het beter begrijpen.”

Er worden wat sommetjes geprobeerd. Ik schrijf ze mee op het bord.

“Oh, dat is net als bij de buitenthermometer. Dan vries het.”
“Maar 10 min 20 kan toch niet?”
“Onder nul kan soms wel maar niet voor dingen.”
“Maar zo’n mingetal staat niet op de getallenlijn.”
“Kan je met de mingetallen ook vermenigvuldigen en delen?”
“Wat is nou een groter getal: -1 of -10?”

Vooral de laatste vraag blijft boven de markt hangen.

Eind van het liedje: de getallenlijn wordt aangepast; een leuk werkje.
WerkOnderwijsFreinetWeerenschool31Ik maak een paar werk­kaarten met min­sommen die negatief uitkomen. Da’s zo gebeurd. Maar ik maak ook een boekje met geprogrammeerde instructie waarin ik probeer om het probleem stap voor stap te duiden.

Naar het volgende stukje: Viertallig meten en meer.

3 Responses to “Negatieve getallen”

  1. René Says:

    Negatieve getallen blijven fascinerend. De oude Grieken kenden ze bijvoorbeeld niet (ook het getal nul niet). Bij de oude Chinese en Indiase wiskundigen tref je ze daarentegen wel aan. In Europa duurde het zeker tot de 18e eeuw voordat ze hun huidige onomstreden status kregen – iets wat ik me maar moeilijk voor kan stellen!

    Overigens, hier is een (flauwe) manier om met negatieve getallen te rekenen zonder ooit het woord “negatief getal” te hoeven noemen. We noemen twee paren (a,b) en (c,d) van positieve(!) gehele getallen “equivalent” als a+d = b+c. We beschouwen vanaf nu paren (a,b) op equivalentie na; in het bijzonder mogen we zonder meer (a,b) vervangen door (c,d) als geldt dat a+d = b+c. (Het idee is dat we stiekem het paar (a,b) interpreteren als het – mogelijk negatieve – gehele getal a-b, en dan geldt wegens a+d = b+c dat a-b = a+d-d-b = b+c-d-b = c-d. Oftewel (a,b) en (c,d) geven hetzelfde gehele getal.)

    Dan definiëren we nu een optel-operatie op paren als volgt: (a,b)+(a’,b’) = (a+a’,b+b’). We kunnen nu twee willekeurige paren van elkaar “aftrekken” zonder ooit een negatieve tussenuitkomst te krijgen: (a,b) – (a’,b’) is immers gelijk aan (a+a’+b’,b+a’+b’) – (a’,b’), hetgeen gelijk is aan (a+b’,b+a’). (We controleren dit weer met onze stiekeme interpretatie van eerder: (a,b) – (a’,b’) is a-b-a’+b’, hetgeen gelijk is aan a+b’-b-a’, en deze laatste uitdrukking is inderdaad gelijk aan (a+b’,b+a’).)

    Conclusie: door de negatieve getallen niet dezelfde status te geven als positieve getallen, maar ze in plaats daarvan te “implementeren” als páren (a,b) van positieve getallen waarbij b > a, kun je conceptuele verwarring voorkomen. Dit is in feite precies de moderne definitie van de gehele getallen zoals die gebeurt in de verzamelingenleer: eerst definieer je de natuurlijke getallen 0,1,2,3,… door middel van de Zermelo-Fränkel-axioma’s van de verzamelingenleer, en pas daarna definieer je de verzameling van álle gehele getallen zoals ik boven doe.

    Maar ja, bovenstaande definitie verdoezelt natuurlijk de intuïtie achter het begrip negatief getal, en ik verwacht dan ook niet dat basisschoolkinderen er echt profijt van zullen hebben…

  2. René Says:

    Overigens vind ik “kan je met de mingetallen ook vermenigvuldigen en delen?” en “wat is nou een groter getal: -1 of -10?” heel slimme vragen.

  3. Frans Says:

    Dag René,
    Eens met beide reacties:
    – De door jouw beschreven insteek (een negatief getal als getallenpaar) zou niet gewerkt hebben. Ik heb er ook moeite mee.
    – Inderdaad slimme vragen. We/ze deden 2 * -3 = -6 (“als je twee keer drie tekort komt …”). Bij -2 * 3 konden ze zich al minder voorstellen. -10 / 2 werd gevroten (“verdeel een schuld over twee mensen”) maar 10 / -2 weer niet. Ze vonden het ‘raar’ dat dit op het zakrekenmachientje allemaal werkte.

Plaats een reactie